• [진동] 일반전기전자 5단원 교류2012.05.11 PM 04:30

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5.1

교류와 페이저

시간에 따라 변하는 파형은 그 가지수가 무한대이며 이들은 직류에 대비해 보통 교류라 한다. 교류중에서도 우리가 주로 사용하는 정현파를 취급하겠다.

교류에 대해 일반적인 식은 이며 여기서

A=진폭

w=각주파수

=위상

이며 이들은 교류의 3요소가 된다.

각 주파수는 단위가 rad/sec로서 각속도 라고 하기도 하며, 이로부터 주파수로 정의된다.

교류의 가장 큰 특징은 주기를 가지는 주기 함수로서 마다 같은 크기가 반복되어 나타나므로 주기 T는 와 같다. 이는 주파수의 역수이다.

페이져

교류는 각속도 w로서 원형 경로를 회전하는 선을 이용하여 도식적으로 나타내면 편하며, 회전하는 선을 페이저라 한다. 페이저를 수직선에 사영한 크기가 Asinwt가 되며 이 때 페이저의 길이가 Asinwt의 진폭이 되며 t=0일대 수평선에 대해 페이저가 이루는 각 를 편각이라 하며, 교류의 초기 위상이 된다.

페이저는 일반적으로 극좌표상에서 표현하며 크기와 편각이 각각 A,인 페이저는 볼드체 활자로서

와 같은 기호로 표시한다. 그리고 페이저의 진폭은

로 나타낸다.

페이저를 하나의 복소수로 보면

이므로 수식적으로는

와 같이 정의된다.

오일러 공식을 이용하여 간단히 정리하면 다음과 같은 식을 구할수 있다.

교류의 페이저 표현은 교류를 하나의 복소수로 표현함으로서 계산을 간단히 할수 있도록 돕는 것이다.

페이저의 연산

페이저는 복소수의 곱하기와 나누기에 특히 편리하다. 먼저 두 페이저를 곱한 결과를 보자.

따라서 두 페이저의 곱은 각각의 페이저의 진폭은 곱해지고 편각은 더해진다.

5.2

복소 임피던스

교류회로에서 C와 L의 전압과 전류 관계를 페이저를 이용하여 표현하면 미분방정식이 단순히 대수방정식으로 전환된다.

소자

연산자 임피던스

복소 임피던스

저항 R

커페시터 C

인덕터 L

복소 전달함수

임의의 회로 입력과 출력과의 관계를 전달함수로 나타낸다. 이를 페이저 출력과 페이저 입력에 대해 만들면

로 표현된다. 여기서 를 복소 전달함수라 한다.

복소 전달함수의 경우 계산과정이 번거로운 경우가 많기 때문에 를 먼저 구하고 p대신에 jw를 대입하는 방법이 편리하다.

5.3

주파수 응답

입력

출력

즉 출력 y는

여기서 크기 함수인 를 회로의 진폭응답이라 하며 편각함인 를 회로의 위상 응답이라 하며 이 둘을 합하여 회로의 주파수 응답이라 한다. (직접 계산은 5.3의 예제를 참조하라)

5.4

교류 전력

교류 전류의 경우 전압과 전류가 시간에 따라 변하기 때문에 전력도 시간의 함수가 된다.

보통 교류 전류의 전력을 나타내는데는 실효값이 유용하다. 실효값은 교류의 자승을 한 주기 동안에 평균한 값으로 간단히 rms로 표현한다. 따라서 실효값 는 다음과 같이 정의된다.

역률

회로에 공급되는 전압과 전류의 형태가

이라면 순시 전력은 다음과 같이 표현한다.

순시전력의 경우 시간에 따라 변하므로 평균 전력을 구해보자.

여기서 위의 평균값이 직류 전류와 다른점은 cos뿐이다. 이는 교류 전류의 평균값의 경우 위상차의 영향을 받는다는 것을 나타낸다. 여기서 를 역률이라 부르며 간단히 pf로 표현한다.

교류 전류의 경우 다음과 같은 3가지의 관계로 볼수 있다.

1. 피상전력 =

2. 유효전력 =

3. 무효전력 =

임의의 소자에서 복소 임피던스의 실수부와 허수부의 관계는 소자에 공급된 유효전력과 무효전력 간의 관계와 같다.

5.5

직렬 LC 및 병렬 LC 회로

용량이 C인 커페시터는 리액턴스가 이다. 따라서 직류인 w=0에서는 개방과 같고, 무한대의 주파수에서는 단락과 같다.

이와 반대로 인덕턴스가 L인 인덕터는 리액턴스가=wL이므로 w=0에서는 단락과 같고 w=에서는 개방과 같다. 즉 C와 L은 영의 주파수와 무한대의 주파수에서는 임피던스가 0이거나 임피던스가 무한대라는 극한적인 특성을 보인다.

직렬 LC회로

직렬 LC회로의 임피던스 특성을 살펴보자. 이 회로의 합성 임피던스 Z는

이다. 여기서 임피던스가 0이 되는 각주파수를 라 하면

L=

를 만족해야 하므로 는

또는

로 주어지며 이 주파수를 공진 주파수라 한다.

병렬 LC회로

병렬 LC회로에 대해서도 위와 같은 특성을 살펴보자. 이 경우 합성 어드미턴스 는

이므로 Y=0인 주파수는 공진주파수와 같다. 따라서 병렬 LC회로의 리액턴스는 특정주파수에서 무한대의 특성을 보인다.


댓글 : 3 개
보존 및 기록용이면 메인 미노출 클릭하고 게시물을...
음....
보존용이 아닌 보시라고 올려놓는 자료들 입니다. ㅎㅎ 제가 직접 쓰는거라서..
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