[개똥철학] 행렬을 대칭하거나 회전하는 방법을 생각해 보자.

1. 일단 여기서 행렬은 2차원의 배열로 정하자.

         예를 들면 [1,2,3;4,5,6] 과 같다. 여기서 말하는 대칭이나 회전은 행렬이 나타내는 좌표의 변환을 이야기 하는 것이 아니라 행렬자체의 원소들의 위치를 행렬의 중심으로 기준으로 바꾸는 것을 말한다. 

2. 행렬은 행을 기준으로 대칭시키거나 열을 기준으로 대칭 시킬 수 있고 또한 90도 180도 270도로 회전 시킬 수 있다. 또한 행과 열을 바꾸는 대칭을 할 수도 있다. 또한 1,1의 원소의 마지막 원소를 연결하는 선을 기준으로 대칭시킬 수도 있다.

각각의 예를 순서대로 들면

[1,2,3;4,5,6] 이 

행기준 대칭:[4,5,6;1,2,3] 

열기준 대칭:[3,2,1;6,5,4] 

90도 회전:[4,1;5,2;6,3] 

행과 열을 바꾸는 대칭:[1,4;2,5;3,6]

첫 원소와 마지막 원소를 연결하는 선을 기준으로 대칭: [1,4;2,5;3,6]

2차원 공간의 물체는 무수히 많은 대칭과 회전이 존재하지만 행렬이 변환해도 여전히 행렬이 되려면 위와 같은 종류밖에 없다.

   이렇게 행렬을 다른 행렬로 변환 시키는 걸 연산이라고 하자.

3. 회전과 대칭 연산에 편의를 위해 기호을 매기자.

   행 기준 대칭을 s, 열기준을 s', 90 도 시계방향 회전을 r, 행과 열을 바꾸는 대칭을 d, 첫 원소와 마지막 원소를 기준으로 대칭은 d'이라고 하자.

   변환은 안할수도 있고 한번 할수도 있고 여러번 할 수도 있으며 그래도 여전히 행렬이고 연산을 적용할 수 있다. 

   연속으로 연산하는것은 왼쪽으로 부터 기호를 열거하는 것으로 나타내자.

   예를 들면 행기준 대칭 후에 열기준 대칭은 ss'이 된다. 

   같은 변환을 n번 하는것은 s^n과 같이 나타낼 수 있다. 왜냐하면 같은 연산을 연속으로 하는것은 순서가 중요하지 않기 때문이다.

   하지만 다른 연산을 할 때 순서는 영향을 미칠 수도 있다. 예를 들면 행기준 대칭과 행열 바꾸는 대칭은 순서를 달리하면 다른 변환이 된다.

   (sd != ds)

   아무 변환을 하지 않는것은 빈칸이나 1으로 나타내자. 이렇게 하면 직관적으로 이치에 맞는데 왜냐하면 아무 변환을 하지 않는 것 후에 어떤 변환 문자열x를 하는것은 그냥 변환 x를 하는 것과 같기 때문이다. 기호로 나타내면  1x=x1=x가 된다. 예를 들면 (1sd=s1d=sd1=sd와 같다) 

4. 이제 행렬의 변환을 모두 문자열로 나타낼 수 있다. 여기서 재미있는 점은 어떤 변환문자열은 다른 문자열과 같은 변환을 나타낸다는 것이다.

   예를 들면 대칭 연산을 두번 하면 아무 변환을 하지 않는 것과 같다. 그러니까 ss는 1과 같다. (ss=1)

* 위에서 정한 기호를 토대로 변환의 종류를 알아보자.

5. 같은 의미를 같는 문자열들

5-1. s, s', d는 대칭이므로 두번 연속으로 행하면 아무 변환을 하지 않은 것과 같다.

(ss=1 ,s's'=1 dd=1)

5-2. 회전 변환은 360도 회전하면 원래 행렬이 되므로 r^4=1 r^5=r^1 ... 따라서 r^1,r^2,r^3 가 모든 회전을 나타낸다. 다른 회전은 이 세가지 회전중의 하나와 같다.

      또한 90도 회전은 행과 열을 바꾼 후에 행을 기준으로 대칭 회전한 것과 같다.(r=sd)

      여기까지 가면 회전을 나타내는 기호 r은 아예 필요가 없다. 왜냐하면 r을 모두 sd로 바꿔도 같은 변환을 나타내기 때문이다

5-3 위와 비슷한 이유로 d'은 필요 없는 기호이다. 왜냐하면 d'=ss'd이기 때문이다.

5-4. 행 기준 대칭과 열 기준 대칭은 순서에 영향을 미치지 않는다(ss'=s's) 

5-5. 행 대칭 후 행열 바꾸는 대칭을 하는 것은 행열 바꾸는 대칭 후 열 바꾸는 대칭과 같다. 열 대칭에 대서도 마찬가다.

(sd=ds', s'd=ds)

6. 5번의 성질에서 볼 때 변환을 나타내는 문자열은 s^ps'^qd^r의 꼴로 나타낼 수 있다

  예를 들면 sds'ddsr = ssdddsr = ssdds'dr = ssdsddr= sss'dddr = sss'dddsd= sss's'dddd 와 같다.

  또한 s s' d는 두번 변환하면 없어지므로 (ssd= 1d=d) 

7. 또한 5-1에 의해 같은 변환을 하는 방법은 안하거나 한번하거나 밖에 없다.

8. 그러므로 행렬의 대칭이나 회전은 행, 열 대칭, 행과 열을 바꾸는 대칭을 순서대로 한번 하거나 안하는 종류가 있으므로 총 8가지가 있다.

1

s

s'

d

ss'

sd

s'd

ss'd   

[revliskciuq]

는 http://mathonline.wikidot.com/the-group-of-symmetries-of-the-square 이건듯