[기본] 오랜만에 수학문제나 하나 풀어봄.

LINK : //bbs2.ruliweb.daum.net/gaia/do/ruliweb/default/community/325/read?articleId=26226046&bbsId=G005&itemId=143&pageIndex=1

유게보다가 재미있는 문제 발견해서 풀어둔다. 문제는 다음과 같음.

----------------------------------------------------------------
조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤,
어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다.
그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.

이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?
----------------------------------------------------------------

일단 조건부 확률을 잠깐 떠올리도록 하자.
상자속의 카드가 다이아일 확률을 P(A) 라고 하고, 남은카드를 3장 뽑았을때 세 장 다 다이아일 확률을 P(B) 라고 하자.
그럼 우리가 결정해야 하는 조건부 확률은 B 가 일어났을때 A 일 확률, 다시말해서 P(A|B) 야.
조건부 확률의 정리(베이즈의 정리라고 이름도 붙어져있어)는 다음과 같아.

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)

위의 증명은 간단한...데, 망할, 난 위의 증명이 간단하다고 생각하지 않아. 미친, 수학책 보면 제일 짜증나는게 "이건 간단하다" 라고 적어놓은 부분인데, 읽어보면 그래, (적어도 증명까지 그나마 이해가 되면) 간단하긴 하지. 그런데 그걸 발상해내거나 응용해 내는건 얼마나 어려운일인지 알까? 그것들은 공부하는 사람 입장을 전혀 생각안하고 책을 적고 있는게 분명해. 이게 다 홍성...때문이... 여기까지.
증명 자체는 비---교적 직관적인데, P(A|B)P(B) 가 A 와 B 가 동시에 일어날 확률인 것은 틀림없지? 왜냐하면 P(B) 는 일단 B 가 일어날 확률이고, P(A|B) 는 B 가 일어났을때 A 가 일어날 확률이니까, P(A|B)P(B) 는 A 와 B 가 동시에 일어날 확률이야. 그런데 이건 다르게 말하자면 A 가 일어날 확률 P(A) 에 동시에 A 가 일어났을때 B 가 일어날 확률 P(B|A) 를 곱하면 되니까, P(B|A)P(A) 이지. 그러니까 이 동치로부터 위 베이즈 정리가 증명돼.

일단 P(A) = 1/4 이지? P(B|A) 는 상자 안이 다이아 었을때 세장 뽑아서 전부 다이아인 확률이니까, 일단 다이아가 11장에 카드 전체 수가 51 장인 남은 카드에서 세장 뽑아서 전부 다이아인 확률이니까, 11/51 * 10/50 * 9/49 이야.
이제 마지막으로 P(B) 를 계산하는데,

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)

야. 이때, A^c 는 A 가 일어나지 않은 경우를 의미하는데, 다르게 말하자면 다이아가 아닌 경우야. 이미 P(B|A)P(A) 는 계산해놨으니까, 나머지 P(B|A^c) 및 P(A^c) 를 계산하면, 일단 간단히 P(A^c) 는 간단히 3/4 이지. 왜냐하면 다이아가 아닌 경우는 3/4니까.
P(B|A^c) 는 상자안의 카드가 다이아가 아니었으니까 남은카드에 다이아는 12장 남았지? 그러니까 12/51 * 11/50 * 10/49 임.
이제 종합해서 다 적어보면

P(A) = 1/4
P(A^c) = 3/4
P(B|A) = 11/51 * 10/50 * 9/49
P(B|A^c) = 12/51 * 11/50 * 10/49
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = (1/4 * 11/51 * 10/50 * 9/49) + (3/4 * 12/51 * 11/50 * 10/49) = (11*10)(1*9 + 3*12)/(4*51*50*49)

따라서

P(A|B) = (1 * 9) / (1*9 + 3*12) = 9/45 = 1/5

따라서 확률은 20% 야.

적어놓고보니까 간단하지만은 않네. 누누히 말하지만 자기가 풀린다고 "이건 간단한 문제다" 하는 놈들은 정말 후려패줘야해. 이거 안간단하다고! 니챤러들도 못풀어서 제대로된 답 하나 못내고 있잖아! 어쨌든 풀리긴 풀리니까...

베이즈는 논리적인 풀이법이니까 익혀두면 대학입시땐 쓸지도 모르겠네! 그리고 어쩌면 컴퓨터 전공하는 사람이면 요즘엔 핫 한 딥러닝 같은거 만들때 쓸지도 모르겠고! 난 하고싶어도 지금은 멀리서 바라보는 인생이지만.

근데 이거 풀었다고 유게에 써봤자 재미없고 비추만 먹을거 같아서 마이피에만 써둠. 볼사람은 보겠지...

[ㅇㅁㅇ;;;;;;]

확률은 1학년때 교양으로 들은 것 빼고는 써먹은 적이 없으니 다 까먹었네요. 그래도 찬찬히 읽어보니 생각나는 것 같기도.. 아닌 것 같기도...

[L Lawliet_AV]

근데 이거 레이튼 교수에 나온 문제였던 것 같은데 13/52가 맞았던 것 같은데.

[L Lawliet_AV]

잘 기억은 안나는데 이게 엄청 논쟁이 심하게 됬던 걸로 알고있음 수표사기사건도 한때 화제가 됬었느데 그것보다는 약간 일반인이 이해하기 어려워서 논쟁되진 않았는데.. 근데 나도 생각하는게 애초에 조건부를 쓰면 안 되는거 같음. 처음에 하나를 상자에 넣었을때의 확률은 1/4가 맞고. 나머지를 뽑았을때 다이아가 3개 나왔다고 해서 그 이전 상황에 영향을 미치지는 않지

[aksiz]

그 이전 상황에 영향을 미칩니다. 몬티홀과의 차이점은 뒤에 뽑은게 랜덤하다는 요소가 있다는 점이 달라요. 그래서 후에 뽑은것도 이전상황에 영향을 미치게 됩니다.

[L Lawliet_AV]

몬티홀 문제도 비슷한가.. 으으 헷갈린다

[aksiz]

위에 말했지만, 몬티홀과는 결정적인 차이점이 있어요. 몬티홀에선 사회자가 정답을 알고, 남은 두개중에 오답을 열어주는거지만, 이 문제에서는 아니죠. 하나 고르고(A), 그 후에 랜덤하게 3개를 선택(B) 한다면, B의 결과에 따라 A에 영향을 주게 됩니다.