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[개똥철학] 집합론.. (0) 2017/01/11 AM 03:23

 집합론을 제대로 공부한 적이 별로 없었는데 최근에 할모스의 책을 좀 봤는데 (언제나 처럼 연습문제는 넘어가고 침대에서 뒹굴거리며 대충 ㅠㅠ) 특히 위상수학을 배울때 얼치기로 공부하면서 이해가 안갔던 몇개를 이해하게 되었다. 참고로 어디서 주워듣기로는 집합론하는 사람들이랑 일반 수학자들이랑 좀 다르고 할모스의 책은 보통의 수학공부하는 학생들이 알아뒀으면 하는 집합론의 내용만 간단하게 소개한 것이라고 한다. 그러니까 내가 아래 하는 말도 그런 측면이 될 것 같다.

 

1. 먼저 집합론의 의의에 대해서...

 보통의 한국사람들은 고등학교때 집합에 대해 배우는 듯 싶다. 이 때 집합을 어떤 원소가 그 집합에 속하는지 아닌지만 확실히 알 수 있으면 집합이라고 본다. 예를 들면 모든 남자의 모임 같은것들을 집합이라고 볼 수 있다. 이 때 사실 어떤것이 원소이고 어떤것이 집합인지 정해놓지 않는다. 집합의 원소가 또 집합일 수도 있다. 하지만 여기서 작은(??) 문제가 발생하는데 예를 들면 '자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합들의 집합' S를 생각해보면..

 

( S가 자기자신을 포함하면 S는 S의 원소가 된다. 하지만 S의 원소는 자기 자신을 원소로 가지지 않으므로 모순이다. 또한 S가 자기자신을 포함하지 않으면 S는 S의 정의에 의해 S는 S를 원소로 가지게 되므로 모순이다. 따라서 S는 자기자신을 원소로 가질 수도,가지지 않을 수도 없다. 이래도 안되고 저래도 안된다.)

 

  결국 하고싶은 말은 고등학교 때의 집합의 정의는 뭔가 애매하고 모순되는 집합이 있을 수도 있다는 거다. 대부분의 수학은 집합으로 부터 시작하기 때문에 집합이 이런 모순을 가져서는 안되고 따라서 이런 문제들을 해결하기 위해 대학교때 배우는 집합론이 시작되었다. 그렇다면 집합론에서 해결책은 있나? 해결책은 간단하게 위의 S와 같은 것은 집합이 아니라고 하는 것이다. 결국 집합론에서는 어떤것이 집합이고 어떤것이 집합이 아닌지 결정하는 것이 중요하다. 좀 더 정확하게 말하면 내가 이해한 집합론은 '가능한 간결한 가정(공리들)에서 시작해서 기존의 수학을 뒷받침할 만큼 많은 것들을 집합으로 정하면서 모순을 일으키는 것들은 집합이 아니라고 정하는 이론'이다. 따라서 집합론의 공리들은 보통 어떤 집합이 존재한다거나 혹은 기존의 집합에서 새로운 집합을 만드는 법에 대해서 말한다. 이 공리들을 통해서 수학에서 쓰는 모든 관념들을 만들어 내는 것이다. 물론 만들어내는 것들은 집합론에서는 대부분 집합이 된다. 

 나는 특히 이런 집합론의 측면을 이해하지 못했기 때문에 예를 들면 위상수학 책의 집합론 부분을 공부할 때 왜 재귀 정리(Recursion Theorem)을 증명해야 하는지 이해를 못했었다. 재귀 정리는 결국 어떤 성질을 가지는 함수가 존재한다는 내용인데 그 성질을 알고 있으면 이미 함수가 존재하는게 아닌가? 하고 생각한 것이다. 하지만 함수도 결국 집합이고 따라서 그런 함수가 집합론의 공리로 부터 만들어 질 수 있는 진짜 집합인지 증명을 해야 한다.


2. 자연수의 구성(건축?)

 수학에서 중요한게 뭐가 있을까? 수다(수학이니깐...). 그럼 집합론에서 1,2,3 이 있다고 주장할 수 있어야 겠지.. 따라서 앞에서 말한 집합론의 공리를 이용해 자연수를 만들어 내야된다. 자연수를 만들어 낸다는거는 다른게 아니라 우리가 느낌적인 느낌으로 알고 있는 자연수 (하나 둘 셋 ...)와 그 성질 (하나 다음에는 둘이온다,하나 더하기 둘은 셋이다..)에 맞는 집합을  (집합론에서 만들어 내야 하니까 수도 집합이다) 집합론의 공리를 통해서 만들어 내는 것이다. (흔히 어디서 들어본 페아노 공리라는 건 집합론의 공리와 같은 주장 몇개와 그 주장을 통해 증명할수 있는 주장 몇개 해서 5가지 주장을 말한다. 이를 통해서 자연수와 그 성질들을 증명한다) 예를 들면 0이 어떤 집합인지 정하고(사실 공집합을 0으로 정한다) 1은 공집합을 원소로 갖는 집합으로 정한다( 1:={0}) 그렇다면 2는? {0,1}로 정한다 마찬가지로...

 보통 1+1=2를 증명하는데 책 한권의 증명이 필요하다 이런 이야기가 떠도는데 자연수의 더하기는 일종의 함수를 통해서 정한다. (f(x):='x의 다음에 오는 수'라고 정하면..). 집합론에서는 함수도 집합이니깐.. 덧셈을 만든다는 것도 결국 특정한 집합을 만드는 거다. 결국 1+1=2를 증명한다는 것은 우리의 내면의 덧셈의 원리를 알아내기 보다는 만들어 낸 하나의 이론이 우리의 직관에 맞는지 확인하는 과정, 혹은 직관에 맞게 이론을 만들어나가는 과정에 가까운 것 같다.

 사실 집합론을 보고 싶었던 큰 이유중의 하나가 이거였다. 자연수의 증명.. ( 다른 하나는 수리 논리를 공부하려고..) 원래 내가 수학에 대해 관심을 가지게 된 계기는 뭔가 느낌적인 느낌으로 기초, 가장 처음의 원리 같은 것을 알고 싶어서 였다. 공대 과목을 공부하게 되면 누구나 그런 것들에 다가가고 싶어하는 것 같다(???) 그래서 수학과 과목을 몇개 듣게 되는데 거기서도 뭔가 찝찝한 부분이 있다. 예를 들면 대부분의 해석학 강의에서 실수의 이런 저런 성질들과 완비성(대충 실수의 집합은 끊어짐이 없이 연속된다는 뜻?)에 대해서 말하지만 그냥 그렇다 하고 끝났다. 집합에 대해서 이야기도 하고 그러는데 뭔가 좀 찝찝하게 배운다. 좀 옛날책(루딘?) 같은 책들을 보면 유리수에서 실수를 만드는 법을 알려주는데 그럼 유리수는? 그래서 또 공부하다보면 대수학에서 정수를 이용해서 유리수를 만드는 법이 나온다. 그래서 정수를, 더 앞의 자연수가 어떤 놈인지 잘 알고 싶은데 결국 자연수의 구성은 집합론에서 배운다.

 

3. 선택공리와 초른 보조정리, 정렬 정리의 상등 증명 

  집합론을 공부하게 된 또 다른 하나의 계기는 선택공리와 그와 동치인 몇개의 주장들이었다. 내가 위상수학이나 대수학을 공부하다 보면 초른의 보조정리라는 것을 사용하게 될 때가 있었다. 설명하기 귀찮은(내가 잘 모른다는 말이다) 주장인데 느낌적인 느낌으로 말하면 뭔가 증명하기 위해 어떤 작업을 무한번 하기위해 필요한 주장이다. 보통 어떤 주장을 증명한다고 하는것은 유한번의 논리적으로 타당한 주장들을 인과관계에 맞게 배열하는 것에 가까운 것인데 초른 보조정리를 통해 어떤 과정을 무한번 하는 결과를 '가져다 쓸 수 있다'. 그래서 이 정리를 쓴 증명들은 하나같이 마음에 안내켰다.(이해를 완전히 못하니까 설명도 어색하다). 이런 상황은 아마 나만 그런 것이 아닐 것 같다. 마치 끝내 못이기는 게임에서 치트키를 쓰는 느낌이다. 결국 기초(집합론)에서 이 주장을 어떻게 끌어내는지 한번 보고 싶었다.

 초른 보조정리는 선택공리라는 가정으로 증명할 수 있다. 문제는 선택공리라는 공리도 별로 안내킨다는 것이다. 선택공리는 앞에서 말한 집합론에서의 애초의 가정중의 하나로 '어떤 꾸러미들이 있으면 각 꾸러미에서 하나씩 내용물을 꺼낼 수 있다'는 주장이다.(혹은 꾸러미를 입력하면 꺼낼 원소를 알려알려주는 기계가.. 다시말해서 함수가 존재한다.) 당연한게 아닌가? 하지만 꾸러미가 무한개일때도 가능할까? 무한한 꾸러미는 우리가 사는 세상에 존재하지도 않는데 뭐... 문제는 무한이다. 집합론의 여러 문제들은 무한한 것을 다루니까 일어나는 듯 하다. 그럼 무한도 없다고 하면 안될까? 실제로 그렇게 생각하고 이론을 만드는 사람들도 있다고 한다... 

 마지막으로 정렬 정리라는 건 모든 집합을 잘 정렬하는게 가능하다는 주장인데 정렬이라는 거는 일종의 순서를 메기는 것이고 잘 정렬되었다는 것은 순서를 매긴 집합의 부분집합에는 항상 제일 먼저오는 원소가 있다는 거다.

  계속 중언부언 하면서 갈피를 못잡았는데 내가 하고 싶은 말은 결국 위의 3가지 주장이 동치지만 아직 그렇게 마음내키지는 않는다는 것이다. 동치라는 말은 3중 하나가 참이면 세 주장이 다 참이라는 거고 .... 곁가지로 만약 저 주장들이 참임을 가정하면 이상한 결과들이 생긴다고 한다.(하나의 공을 잘개 쪼개서 그 조각들로 두개의 부피가 같은 공을 만들 수 있다고 한다.. 이런 이상한 주장들)

 

4. 기수와 서수...

  마지막으로 기수와 서수에 관해 이야기하려고 했지만 아직 책을 대충봐서 잘 모르고 또 피곤해서 그만 써야겠다. 내가 왜 이 글을 쓰게 되었나..

 

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[개똥철학] 프로그래밍이랑 수학... (0) 2016/10/10 PM 11:52

 가끔 마이피에서 유능한 개발자가 되기 위해서 수학 공부를 해야하는가? 공부 한다면 어찌해야하는가 하는 고민이 많은 지망생들이 많으신 것 같습니다.

 참고로 저는 유능한 프로그래머가 아니고 옳해 컴공 졸업한 쭈글입니다. 그래도 뭔가 듣고 싶은 분은 계속 읽어 주셔도 됩니다. 아니면 뒤로가기를 

ㅡㅡ;;

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.....

 결론부터 말하면 원래 수학을 좋아하거나 한게 아니면 일단은 다른거 먼저 하는게 좋다고 저는 생각합니다.

 저는 사실 초등학교때는 프로그래밍이 좋아서 컴공을 지망했는데 재수 삼수 사수.. 등등 계속 하면서 수학이 좋다고 생각해서 수학 복수전공 비스무리하게 (다중전공이라고 하더군요) 한 사람입니다.

 보통 컴퓨터공학과에서 3학년에 배우는 코어 과목이 OS, 컴퓨터구조, 프로그래밍 언어론, 네트워크, 소프트웨어 공학, 컴파일러, 데이터 베이스 오토마타 이론이 있습니다.

 OS과목은 운영체제가 뭔지, 하는일이 뭐가 있는지(대표적으로 각 프로그램에 컴퓨터의 자원을 할당.. 원래 그런일을 operator라는 사람이 했다 하네요), 존재하거나 존재했던 운영체제의 예를 들고 하면서 배웁니다.

 컴퓨터 구조는 논리회로를 통해서 

 단순한 코더가 아니라(저는 단순한 코더지만) 뭔가 핵심적인 개발자가 되기 위해서는 이 과목들이 다 중요하다고 생각합니다.

 하부에서 상부 순서대로 올라가면 컴퓨터 구조-> OS -> 프로그래밍 언어론, 데이터 베이스-> 소프트웨어 공학이 되겠지요. 기계 수준에서 최적화를 위해서는 컴퓨터 구조도 알아야 하지만 매우 큰 프로젝트에서 지속가능한 소프트웨어를 개발하려면 소프트웨어 공학까지 중요합니다.

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[개똥철학] 뜬금없는 선형대수학 책 리뷰.. (0) 2016/07/11 AM 03:35

// 개나 소나 공대생이나 자연대생이나 경제학도나 통계학도나 한번은 공부한다는 선형대수. 나중에 공부 더하면 좀 추가하고 등등 해야겠다..

 

  학부생들이 보는 선형대수는 크게 두가지 종류가 있는것 같은데 하나는 수학과 학생들이 보는 책, 다른 하나는 공대생들이 보는책이다.

  기본적으로 벡터공간, 선형변환, 디터미넌트, 대각과, 직교공간 등을 배우는 것은 동일한데 디테일에서 보면 차이가 있다.


/*보통 수학과 학부생들이 선형대수2에서 보는 책들:

 수학과 학생들이 좋아하는 책이다. 보통 강의는 Vector space의 정의로 시작해서 Jordan form의 증명등등까지 배우는 듯하다. */

 

1. Linear Algebra 4Ed (Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. spence)

   기본적인 학부 이론은 설명되어 있으면서도 마코브 체인이나 미방 같은 응용부분도 나와있으며 SVD같이 수치 선형대수와 관련된 부분도 나와있다. 문제는 정리를 증명하는데 연습문제에 수록되어 있는 부분을 알아야 할 경우가 있거나 단원이 잘 정리되지 않았는지 한참 앞부분의 정리를 이용해는 경우가 있어서 죽 읽어보기에 불편하다. 책2를 보기 전에는 그럭저럭 보던 책이었다.

  조단 형식 설명이 뭔가 마음에 안들었다. 다시봐야 한다.

 

2. Linear Algbra 2nd (Kenneth Hoffman / Ray Kunze)

  개인적으로 책1 보다 내용이 유기적으로 서술되어 있는 느낌이 들었고 이해하기 더 좋았다. 특히 디터미넌트를 Field에 대해서만 정의하지 않고 Commutative ring에 대해서 정의하고 그를 이용해서 Caylay Hamilton 정리도 증명하며 뒤에 Multilinear function과 Grassman Algebra 까지 설명하는게 좋았다. 그 외에도 1책에 없는 Primary decomp-osition과 Cyclic decomp-osition까지 설명 되어 있다. 

  책1과는 달리 응용이라 말할 부분은 전혀 없는 수학과 교재이며 Group,Ring은 기본이고 Polynomial ideal 이나 Module 같은 것들이 튀어나오는 지라 현대대수를 미리 공부하지 않은 사람이 보기에는 힘들 것 같다.  앞의 책보다 이해하기 쉬었던 이유는 어쩌면 그런 개념들을 통해 증명을 하기 때문에 증명이 더 깔끔해지기 때문인지도 모르겠다.

  좀 오래된 책이라서 그런지 활자가 좀 이상한데 익숙해지니 오히려 나는 보기 편했다.

 

3. 선형대수와 군 (이인석)

  기본적으로 앞의 두 책중 2와 내용이 비슷한 것 같다. 중고로 샀다고 신나해놓고는 어려워서 제대로 못봤다. 어려운 것도 있지만 연습문제가 내용 중간중간에 있기때문에 좀 싫다. Cyclic decomp-osition은 정리는 써 놓았으나 증명은 다음 책 (대수학)으로 미룬다고 쓰여 있다. 책기호를 좀 이상하게 쓰는 것 같다. 좀 공부를 더 한 지금 다시보면 이해가 될 것 같으나 이미 책2가 개인적 취향에 맞기 때문에 안볼지도 모르겠다.

 

 

 

 

/*수학과 학생들이 선형대수1에서 배우거나 보통의 공대생들이 배우는 선형대수: 기본적으로 행렬을 이용한 실제 계산을 중요하게 여기는 듯 하다. 수학과 학생들이 행렬계산 책이라고 깔보는 경우가 있는 것 같은데 나는 이해하기 쉽고 좋았다. 아무래도 계산은 정말 중요한 것 같다 내가 잘 못하는 계산..

  추상적인 벡터공간의 의미보다는 실질적인 행렬의 계산이 더 중요시된다. 그리고 가장 많이 보는 실수체에 대해서만 먼저 소개한 후에 나중에 대각화 등에서 복소수 행렬에 대해 소개한다. 또한 컴퓨터를 이용한 응용이 중요하기 때문에 기본적인 수치선형대수에 해당하는 내용들이 많이 들어가 있다.  

*/

 

4. Elementary Linear algebra (Howard Anton)

  보통 공대생들이 보는 선대책이다. 의외로 굵직굵직한 정리들의 증명이 빠져있는데 아무튼 쉽게쉽게 찾아보기 편하다.

 

5.Linear algebra with application (Steven leon)

  학부 선형대수 때 강사가 가르친 과목이다. 아마존 같은데서 평이 안좋던데 가르쳐주는 강사는 조금 별로.. 였지만 책은 의외로 쉽게 자주 보았다. 4 같이 증명도 대부분 보기 편했다.

 특히 졸업 프로젝트할때 페이지 랭크 알고리즘 관련해서 한 게 있었는데 이 책으로 쉽게 이해했다.

 

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