유게보다가 재미있는 문제 발견해서 풀어둔다. 문제는 다음과 같음.
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조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤,
어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다.
그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.
이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?
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일단 조건부 확률을 잠깐 떠올리도록 하자.
상자속의 카드가 다이아일 확률을 P(A) 라고 하고, 남은카드를 3장 뽑았을때 세 장 다 다이아일 확률을 P(B) 라고 하자.
그럼 우리가 결정해야 하는 조건부 확률은 B 가 일어났을때 A 일 확률, 다시말해서 P(A|B) 야.
조건부 확률의 정리(베이즈의 정리라고 이름도 붙어져있어)는 다음과 같아.
P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)
위의 증명은 간단한...데, 망할, 난 위의 증명이 간단하다고 생각하지 않아. 미친, 수학책 보면 제일 짜증나는게 "이건 간단하다" 라고 적어놓은 부분인데, 읽어보면 그래, (적어도 증명까지 그나마 이해가 되면) 간단하긴 하지. 그런데 그걸 발상해내거나 응용해 내는건 얼마나 어려운일인지 알까? 그것들은 공부하는 사람 입장을 전혀 생각안하고 책을 적고 있는게 분명해. 이게 다 홍성...때문이... 여기까지.
증명 자체는 비---교적 직관적인데, P(A|B)P(B) 가 A 와 B 가 동시에 일어날 확률인 것은 틀림없지? 왜냐하면 P(B) 는 일단 B 가 일어날 확률이고, P(A|B) 는 B 가 일어났을때 A 가 일어날 확률이니까, P(A|B)P(B) 는 A 와 B 가 동시에 일어날 확률이야. 그런데 이건 다르게 말하자면 A 가 일어날 확률 P(A) 에 동시에 A 가 일어났을때 B 가 일어날 확률 P(B|A) 를 곱하면 되니까, P(B|A)P(A) 이지. 그러니까 이 동치로부터 위 베이즈 정리가 증명돼.
일단 P(A) = 1/4 이지? P(B|A) 는 상자 안이 다이아 었을때 세장 뽑아서 전부 다이아인 확률이니까, 일단 다이아가 11장에 카드 전체 수가 51 장인 남은 카드에서 세장 뽑아서 전부 다이아인 확률이니까, 11/51 * 10/50 * 9/49 이야.
이제 마지막으로 P(B) 를 계산하는데,
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)
야. 이때, A^c 는 A 가 일어나지 않은 경우를 의미하는데, 다르게 말하자면 다이아가 아닌 경우야. 이미 P(B|A)P(A) 는 계산해놨으니까, 나머지 P(B|A^c) 및 P(A^c) 를 계산하면, 일단 간단히 P(A^c) 는 간단히 3/4 이지. 왜냐하면 다이아가 아닌 경우는 3/4니까.
P(B|A^c) 는 상자안의 카드가 다이아가 아니었으니까 남은카드에 다이아는 12장 남았지? 그러니까 12/51 * 11/50 * 10/49 임.
이제 종합해서 다 적어보면
P(A) = 1/4
P(A^c) = 3/4
P(B|A) = 11/51 * 10/50 * 9/49
P(B|A^c) = 12/51 * 11/50 * 10/49
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = (1/4 * 11/51 * 10/50 * 9/49) + (3/4 * 12/51 * 11/50 * 10/49) = (11*10)(1*9 + 3*12)/(4*51*50*49)
따라서
P(A|B) = (1 * 9) / (1*9 + 3*12) = 9/45 = 1/5
따라서 확률은 20% 야.
적어놓고보니까 간단하지만은 않네. 누누히 말하지만 자기가 풀린다고 "이건 간단한 문제다" 하는 놈들은 정말 후려패줘야해. 이거 안간단하다고! 니챤러들도 못풀어서 제대로된 답 하나 못내고 있잖아! 어쨌든 풀리긴 풀리니까...
베이즈는 논리적인 풀이법이니까 익혀두면 대학입시땐 쓸지도 모르겠네! 그리고 어쩌면 컴퓨터 전공하는 사람이면 요즘엔 핫 한 딥러닝 같은거 만들때 쓸지도 모르겠고! 난 하고싶어도 지금은 멀리서 바라보는 인생이지만.
근데 이거 풀었다고 유게에 써봤자 재미없고 비추만 먹을거 같아서 마이피에만 써둠. 볼사람은 보겠지... |
톺아보기
다만 카드문제에서의 B랑 몬티홀의 B는 서로 완전히 다른 조건이라는거.
카드에선 P(남은 51장의 카드중 3개를 뽑았을떄 모두 다이아일 확률) = 11/51 * 10/50 * 9/49
몬티홀에선 P(사회자가 남은 두개 문중 꽝인 문 하나를 연다고 룰에 적힌 상태에서 꽝인 문 하나를 열 확률) = 100%.
가 되는거죠.