3n+1 문제
임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다.
n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.
예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다.
어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다.
유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다."라고 했습니다.
쌍둥이 솟수
p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다.
예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다.
쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다.
골드바흐의 예상
"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바흐가 주장했습니다.
200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다.
Goldbach 예상의 bound 가 4×1014로 올라갔음.
7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음.
(10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)
메르센 수
p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다.
메르센 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다.
그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다.
한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다.
지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다.
Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료되었음.
F22는 합성수로 판정이 났음.
피보나치 솟수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)
이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요?
n2 + 1 꼴의 솟수
n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
k 2n + 1 꼴의 합성수
모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요?
제곱 수 사이의 솟수
연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요?
2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.
큰 수의 인수분해
솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다.
페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다.
n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.
홀수 완전수
6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다.
이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다.
짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다.
여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10300보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다.
π + e
π와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.)
그런데 π + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.
오일러 수
"오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다.
γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n )
이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다.
아마도 무리수일 뿐 아니라, 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.
아페리의 수
ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다.
아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다.
아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠. ^^;
카탈랑의 예상
연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요?
2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다.
물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다.
2002년 5월, 체코 수학자 Preda Mihailescu가 드디어 증명에 성공하였습니다.
이집트 분수
분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다.
1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요?
바꿔 말하면, n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다.
※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.
5차 부정 방정식
다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요?
a5 + b5 = c5 + d5
일곱 개의 세제곱들의 합
454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?
유리수 거리
평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다.
이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?
유리수 상자
임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?
내접 정사각형
평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요?
단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.
우아한 트리
유한 개의 점과, 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 "그래프(graph)"라고 합니다.
이 때, 이 그래프의 점을 "버텍스(vertex)"라고 하고, 버텍스들을 잇는 선을 "에지(edge)"라고 합니다.
그래프 가운데, 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때, 이런 그래프를 특별히 "트리(tree)"라고 합니다.
전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 "트리 구조"라는 걸 아실 겁니다.
n 개의 버텍스를 갖는 트리에, 1부터 n까지 숫자를 준 다음, 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다.
이렇게 했을 때, 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면, 이 트리는 "우아하다(graceful)"고 정의합니다.
예를 들어, 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.
5 1----4
/ /
7----3----9----2
│ │
6 8
이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다.
따라서, 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다.
그런데, 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요?
아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
마법의 나이트 경로
8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서, 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다.
이 때, 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요?
semi-magic knight tour라고 해서, 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만, 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다
미스테리 수학문제 - Best 6
1. 컴퓨터 계산 시간에 관한 ‘P 대 NP’문제
2. 소수의 분포에 관한 ‘리만의 가정'
58년 소수분포에 관한 논문에서는 ζ함수를 응용하여 해석적 수론의 기초를 닦았다. ζ함수의 성질에 대한 리만의 가정 ‘ζ(s)는 s＝x＋iy에 대해서 생각할 때 x＞1/2로 0점은 없다’는 오늘날까지 증명도 부정도 되지 않은 상태이다.
3. 소용돌이를 기술하는 ‘나비어 스톡스 방정식’
4. 3차원 곡면에 관한 ‘푸앵카레 추측’
5. '양-밀즈 존재와 매스갭'
6. '골드바흐의 추측'
골드바흐의 추측 1: 4 이상의 짝수는 두 소수의 합이다.
골드바흐의 추측 2: 6 이상의 모든 자연수는 세 소수의 합이다.
이것만은 꼭! 알고싶다 Best 6 [수학박사 러시아 314명조사]
그리고 의외로 단순하게 보이는 명제들 중에서도 증명이 안된 것이 많다.
1. 모든 짝수는 소수와 소수의 거듭제곱의 차로 쓸수 있다.
2. 모든 짝수 2n에 대해서 차이가 2n이 되는 소수가 무수히 많다.
3. 쌍둥이 소수 추측: 차이가 2가 되는 소수는 무수히 많다.
4. n^2 +1 꼴의 소수는 무수히 많다.
5. 페르마 소수(2^{2^n}+1꼴의 소수)는 유한하다.
6. n^2 과 (n+1)^2 사이에는 항상 소수가 있다.
증명만 한다면 당신은 그곳에서 용자!
부담스럽지도 않고 딱 적절한... 쩝.