1. 일단 여기서 행렬은 2차원의 배열로 정하자.

         예를 들면 [1,2,3;4,5,6] 과 같다. 여기서 말하는 대칭이나 회전은 행렬이 나타내는 좌표의 변환을 이야기 하는 것이 아니라 행렬자체의 원소들의 위치를 행렬의 중심으로 기준으로 바꾸는 것을 말한다. 

2. 행렬은 행을 기준으로 대칭시키거나 열을 기준으로 대칭 시킬 수 있고 또한 90도 180도 270도로 회전 시킬 수 있다. 또한 행과 열을 바꾸는 대칭을 할 수도 있다. 또한 1,1의 원소의 마지막 원소를 연결하는 선을 기준으로 대칭시킬 수도 있다.

각각의 예를 순서대로 들면

[1,2,3;4,5,6] 이 

행기준 대칭:[4,5,6;1,2,3] 

열기준 대칭:[3,2,1;6,5,4] 

90도 회전:[4,1;5,2;6,3] 

행과 열을 바꾸는 대칭:[1,4;2,5;3,6]

첫 원소와 마지막 원소를 연결하는 선을 기준으로 대칭: [1,4;2,5;3,6]

2차원 공간의 물체는 무수히 많은 대칭과 회전이 존재하지만 행렬이 변환해도 여전히 행렬이 되려면 위와 같은 종류밖에 없다.

   이렇게 행렬을 다른 행렬로 변환 시키는 걸 연산이라고 하자.

3. 회전과 대칭 연산에 편의를 위해 기호을 매기자.

   행 기준 대칭을 s, 열기준을 s', 90 도 시계방향 회전을 r, 행과 열을 바꾸는 대칭을 d, 첫 원소와 마지막 원소를 기준으로 대칭은 d'이라고 하자.

   변환은 안할수도 있고 한번 할수도 있고 여러번 할 수도 있으며 그래도 여전히 행렬이고 연산을 적용할 수 있다. 

   연속으로 연산하는것은 왼쪽으로 부터 기호를 열거하는 것으로 나타내자.

   예를 들면 행기준 대칭 후에 열기준 대칭은 ss'이 된다. 

   같은 변환을 n번 하는것은 s^n과 같이 나타낼 수 있다. 왜냐하면 같은 연산을 연속으로 하는것은 순서가 중요하지 않기 때문이다.

   하지만 다른 연산을 할 때 순서는 영향을 미칠 수도 있다. 예를 들면 행기준 대칭과 행열 바꾸는 대칭은 순서를 달리하면 다른 변환이 된다.

   (sd != ds)

   아무 변환을 하지 않는것은 빈칸이나 1으로 나타내자. 이렇게 하면 직관적으로 이치에 맞는데 왜냐하면 아무 변환을 하지 않는 것 후에 어떤 변환 문자열x를 하는것은 그냥 변환 x를 하는 것과 같기 때문이다. 기호로 나타내면  1x=x1=x가 된다. 예를 들면 (1sd=s1d=sd1=sd와 같다) 

4. 이제 행렬의 변환을 모두 문자열로 나타낼 수 있다. 여기서 재미있는 점은 어떤 변환문자열은 다른 문자열과 같은 변환을 나타낸다는 것이다.

   예를 들면 대칭 연산을 두번 하면 아무 변환을 하지 않는 것과 같다. 그러니까 ss는 1과 같다. (ss=1)

   

* 위에서 정한 기호를 토대로 변환의 종류를 알아보자.

5. 같은 의미를 같는 문자열들

5-1. s, s', d는 대칭이므로 두번 연속으로 행하면 아무 변환을 하지 않은 것과 같다.

(ss=1 ,s's'=1 dd=1)

5-2. 회전 변환은 360도 회전하면 원래 행렬이 되므로 r^4=1 r^5=r^1 ... 따라서 r^1,r^2,r^3 가 모든 회전을 나타낸다. 다른 회전은 이 세가지 회전중의 하나와 같다.

      또한 90도 회전은 행과 열을 바꾼 후에 행을 기준으로 대칭 회전한 것과 같다.(r=sd)

      여기까지 가면 회전을 나타내는 기호 r은 아예 필요가 없다. 왜냐하면 r을 모두 sd로 바꿔도 같은 변환을 나타내기 때문이다

5-3 위와 비슷한 이유로 d'은 필요 없는 기호이다. 왜냐하면 d'=ss'd이기 때문이다.

5-4. 행 기준 대칭과 열 기준 대칭은 순서에 영향을 미치지 않는다(ss'=s's) 

5-5. 행 대칭 후 행열 바꾸는 대칭을 하는 것은 행열 바꾸는 대칭 후 열 바꾸는 대칭과 같다. 열 대칭에 대서도 마찬가다.

(sd=ds', s'd=ds)

6. 5번의 성질에서 볼 때 변환을 나타내는 문자열은 s^ps'^qd^r의 꼴로 나타낼 수 있다

  예를 들면 sds'ddsr = ssdddsr = ssdds'dr = ssdsddr= sss'dddr = sss'dddsd= sss's'dddd 와 같다.

  또한 s s' d는 두번 변환하면 없어지므로 (ssd= 1d=d) 

7. 또한 5-1에 의해 같은 변환을 하는 방법은 안하거나 한번하거나 밖에 없다.

8. 그러므로 행렬의 대칭이나 회전은 행, 열 대칭, 행과 열을 바꾸는 대칭을 순서대로 한번 하거나 안하는 종류가 있으므로 총 8가지가 있다.

1

s

s'

d

ss'

sd

s'd

ss'd   

대학 때 읽다가 도저히 안읽혀서 반납했던 책이다. 

 

목차는 다음과 같다.

1장: 컴퓨터 개론

2장: 컴퓨터 구조론

3장: 계산이론

4장: 코딩 이론과 정보이론

5장: 가역 계산과 계산의 열역학

6장: 양자역학적 컴퓨터

7장: 계산의 물리적 측면

 

 이 책은 파인만이 생전에 했던 컴퓨터과학에 대한 내용을 파인만 사후에 정리해서 낸 책이다. 

 컴퓨터 공학과를 생각하면 보통 프로그래밍 공부만 4년 동안 하다가 나온다고 생각할 수 있지만 교육과정에는 이론적 토대, 한계를 알 수 있는 계산 이론과 논리적/물리적 컴퓨터의 토대가 되는 논리회로와 컴퓨터 구조도 배운다. 이 책에서 1장에서부터 4장까지는 표준적인 컴퓨터 공학에서 배울 수 있는 내용 중에서 하나의 완결된 이야기라고 할 수 있는 정도의 부분을 연결지어서 설명한다. 다시 말하면 각 과목에 해당하는 내용에서 다음부분 설명에 필요한 예시 한 두개 정도만 다음 내용에 도움이 될 정도로 설명하고 넘어가는 것이다. 예를 들면 튜링머신을 설명할 때 다음에 설명할 만능 튜링머신을 구현하기 위해 구체적으로 문서를 찾아서 꺼내는 구체적인 튜링머신의 예를 설명하고 또 이를 통해 구현한 만능 튜링머신을 이용해 '정지 문제'의 반례의 구체적인 예를 구성하는 것이다. 물론 이 책이 방대한 컴퓨과학의 내용을 다 설명한다고 할 수는 없지만 하나의 완결된 논리적인 줄거리를 따라간다는 느낌을 줄 수 있어서 좋았다. 군데군데 넘어가고 결과만 말미에 설명하고 넘어가는 부분이 있지만 어쩔 수 없는 선택일 것이다.

 코딩 이론과 정보이론에서는 우연히 요즘에 책으로 봤던 부분이 겹쳐 있어서 더욱 흥미로웠으며 물리하는 사람 특유의 큰 수를 어림잡고 근사식을 이용한 수식 유도와 예측도 흥미로웠다(내가 물리에 문외한이라서 확실하지는 않지만 수학공부할 때에 비해서 그런 시각은 흥미로웠다.) 예를 들면 섀넌 정보량의 정의를 유추해내거나(정보의 크기를 의외성에 중점을 두어서 확률과 빈도의 평균 곱에 로그를 씌운 후에 극한으로 간다고 가정하고 스털링 공식을 사용하였다) 하는 등이다. 또 예를 들면 정보를 전송할때 오류는 독립적이고 단위 시간당 발생 횟수가 적다고 가정하고는 푸아송 공식을 이용해서 오류의 빈도나 그 외의 부등식을 보여주는 부분이 흥미로웠다. (학교다닐때도 이렇게 배웠을 지도 모르지만 기억이 나지 않는다). 

 이 책에서 특이한 부분은 5장부터 7장부분이라고 할 수 있는데 보통 대학과정에서 보기 힘든 계산의 열역학이나 양자계산에 대한 내용을 다루기 때문이다. 하지만 정작 나는 읽다가 5장 까지만 어느정도 읽고 뒷부분은 읽지 못했다. 다음에 다시 읽어야 할 부분이다.

 뒷 부분에서 그래도 기억나는 부분으로는 계산에 필요한 최소 에너지를 알아보기 위해 계산과정을 열기관의 과정으로, 1비트의 기억 소자를 각각 진공 속에서 단 하나의 원자를 옮기는 과정으로 생각한다는 것이었다. 열역학에서 열기관의 최대 효율을 알기 위해서 가역과정을 생각하는 것 같이 계산과정에서도 가역계산이 가능한 물리적 회로를 고안하고 이를 통해 추론해내는 내용은 계산과정에서 필요한 최소 에너지는 0이라는 것이다.

 

 예전 수학과목 공부를 할 때는 어떠한 이론을 배울 때 이론을 만든 사람의 사고 과정이나 통찰, 혹은 수식이 나온 계기를 알기가 힘들었었다. 수학 책도 대부분 그 책 하나로 완결된 논리를 갖추고 있지만 이야기는 알 수 없고 정리와 증명, 예시와 연습문제의 연속이었다. 생각해보면 고등학교때 물리도 그런식으로 공부했던 기억이 난다. 예를 들면 열은 비열 과 질량 그리고 온도의 차이의 곱으로 나타낼 때 그것을 그저 정의로 생각하고 그와 같이 정의 된 식을 변형하는 것을 그저 신기하게 여겼을 뿐이지 어째서 그러한 이론을 만들었는지 정말 질량이 열에 비례하는지 열이 정말 무엇인지는 기계적으로 외웠을 뿐이었다. 이 책과 같은 사고가 파인만의 독창적인 대화 방식일지 또는 물리의 전통적인 공부 방법일지는 모르겠지만 이와같이 무언가를 알아보는것은 즐거운 일일 것 같다. 

 

 // 요즘 무언가 물리와 관련된 책을 계속 읽은 것 같은데 전역하고 내가 관심있던 쪽이 물리였나 보다. 군에 있을때 모은 돈으로 전역하고 샀던 책인데 막상 그 당시에 잘 안읽혀서 읽다가 말았는지 대충 읽었는지 기억이 가물가물해서 최근에 다시 읽었다.

 

  물리학자가 쓴 책으로 양자가 어떻게 행동하고 어떤 존재인지를 설명한다. 양자적 행동의 특성으로는 1. 입자의 성질은 관측하기 전에는 확정되지 않으며 각 상태는 확률적으로만 나타낼 수 있다. 관측 후에는 확률은 사라지고 입자의 상태만 남는다. 2. 이때 입자의 상태는 전체계의 상태에 대한 함수로써 나타난다. 3. 입자들은 서로 얽힘상태라는 것을 통해 서로 묶여서 행동 할 수 있으며 간섭이라는 특징도 가진다. 와 같이 요약 할 수 있을 것 같다.

 고등학교 때 물리를 공부할때는 기계적으로 양자적 크기 범위의 입자들은 입자와 같이 행동할 때도 있고 파동과 같이 행동할 때도 있다고 막연히 받아들였던 기억이 있다. 나는 그 말을 예를 들어 파장과 같이 행동할 때는 입자가 물결과 같이 이동한다는 느낌으로 문제를 풀었다. 저자는 이런 인식은 잘못된 것으로 양자는 물질과 같이 행동하는 것도 아니고 파동과 같이 행동하는 것도 아닌 그저 양자와 같이 행동하며 이는 자연의 본질일 뿐이므로 더이상 해석을 할 필요가 없다고 말한다. 실제로 파동은 간섭을 할 때 여러 파동의 합성으로 그런 현상이 나타나지만 양자는 하나만 있어도 그저 모든 경로를 미리 알고 있는 것처럼 행동하여 간섭혐상이 나타난다. 이는 파동의 행동으로 설명 할 수 없다. 

 

  이 책의 특이할 만한 점으로는 수식은 거의 배제하고 사칙연산을 할 수 있는 독자로 염두해 두고 가상 실험을 통해 양자적 특징을 설명하려 한다는 점이다. 기본적인 확률의 덧셈법칙이나 곱셈법칙도 책 내에서 설명을 하며 복소수도 2차원 화살표로 설명한다. 각 단원마다 연습문제를 두어 간단한 개념을 확인하거나 이해를 제대로 한건지 독자에게 반문할 수 있도록 한다. 한마디로 양자의 핵심 행동을 가능한한 많은 독자들이 이해할 수 있도록 실제 현상에서 따온 사고실험들을 체계적으로 구성한 교과서를 쓴 셈이다. 

 

 

물리학으로 보는 사회  : 필립 볼

  

 

  

이 책도 학창시절에 감명깊게 읽어서 언제 다시읽어야지 하고 생각했던 책이다. 하지만 다시 보니 생각보다 너무 내용이 많아서 결국 완독도 못하고 정리도 못했다.읽고 있는 동안에는 조금 지겨운 생각도 들었지만 잠시 반납을 해야하는 지금에서는 다시한번 읽고 정리하고 싶은 생각이 드는 책이다.

  

한국어판 제목은 물리학으로 보는 사회이지만 원제는 Critical Point 임계질랑인 것으로 알 고 있다. 처음 책을 읽은 때는 그래서인지 이 책을 그저 물리학을 사회에 적용하는 정도의 내용으로 생각했지만 구체적으로는 다음과 같다.

  

 물리학에서는 기체나 유체와 같은 입자들의 행동에 대해서 다루는데 익숙해져 있다고 한다. 이 때 각각의 입자를 모두 추적하는 것은 불가능에 가깝지만 각각의 입자의 행동을 통해 나타내는 전체적인 계의 성질은 서로 다른 입자의 성질에도 불구하고 공통적인 특징을 나타내는 경우가 있으며 이를 이론적으로 적립 가능하며 그 이론으로 또는 시뮬레이션을 통해 계의 상태가 어떻게 될지 예측 가능하다. 이 때 계가 나타낼 수 있는 성질은 개벼릐 입자를 통해서는 알 기 힘든 창발의 형태로 나타날 수 있다.

  

 이와 같이 생각하는 방법은 토마스 홉스와 같은 사회과학자의 머리에서 시작되었으며 통계이론의 시작을 통해 확대되어 19세기 사회과학의 수학화를 지향하는 사회를 통해 시작하였으며 맥스웰과 볼츠만과 같은 과학자들이 그런 이론을 기체분자의 이론화에 이용하면서 시작되었다. 이 때 각각의 입자는 속도를 가지고 부피를 가지지 않는 것과 같이 단순화해서 사용한다. 실제 입자의 단순화를 통해 기체 분자의 운동, 상전이, 자성 등에 대한 이론을 만들었다.

  

 

  

 

  

 

  

목차

  

 

  

서론

  

1. 리바이어던의 출현 :토마스 홉스의 잔인한 세상

  

           기계론적 철학, 토마스 홉스의 사상 출현의 계기, 기존의 사회과학과는 다른 제1원칙을 통한 사회의 이론화.

  

2. 더 작은 힘: 물질에 대한 기계론 적 철학

  

           데모크리토스로부터 시작된 원자론, 엔트로피, 통계역학의 시작

  

 

  

3. 큰 수의 법칙

  

           통계학의 대두, 종 모양 커브, 큰 수의 법칙, 맥스웰

  

4. 거대한 이변

  

           상전이, 임계점, 자화, 가지치기, 불완전한 상태의 물리학

  

5. 성장과 모양에 대하여

  

          

  

6. 이성의 행진

  

           사람의 이동을 기체의 입자와 같이 모델화

  

7. 도로에서

  

8. 시장의 리듬

  

           거시 경제학의 물리학적인 접근

  

          

  

9. 행운의 행위자

  

           미시 경제학의 ..

  

           무규모, 주변의 입자와 상호작용, 변화에 민감한 계 -> 멱급수 그래프

  

10. 희귀한 비율

  

           임계 상태의 요동. 노이즈를 정규 분포가 아니라 꼬리가 긴 경우....

  

11. 여러가지 사람들의 일

  

           기업의 성장에 관한 이론.

  

12. 클럽에 합류하기

  

           편먹기에 대한 이론

  

13. 결정의 계곡에서 나타나는 다중성

  

           선거 선택에 관한 이론

  

14. 문화의 식민지화

  

15 작은 세상들

  

16. 웹 짜기

  

17. 에덴의 질서

  

18. 파블로프의 승리

  

19. 낙원을 향하여

  

 

  

후기

  

'정보: 새로운 과학의 언어'라는 책은 정보학에서 다루는 정보가 물리학자의 관점에서 어떻게 인류가 다루는 이론들의 기초 구성단위가 될지를 예측한다.다. 대학 다닐 시절에 우연히 읽고는 다시 한번 읽어봐야겠다고 생각했었지만 이름이 도통 기억이 나지 않아 졸업할 때 까지 한번도 찾을 수 없다가 동네 시립 도서관에서 우연히 다시 찾게 되었다. 어렵게 다시 찾은 책인데 그래도 기록이라도 남여야겠다는 생각에 써 놓는다.

  책은 크게 정보라는 이론의 배경과 고전적인 정보에 대한 설명, 그리고 양자정보와 인간의 앎에 대한 정보이론적인 사유에 대해서 다룬다.

  배경에서는 정보(Information)이라는 말의 어원에 대해서 설명을 하고 물리학자들이 정하는 언어의 조작적 정의에 다룬다. 여기서 조작적 정의란 어떤 이론을 구사하는데 있어서 수량적으로 정의된 용어로 전적으로 그 이론의 편의를 위해 정의된다. 섀넌의 정보도 그와 같이 정보의 문맥적인 의미를 무시한 채 정보의 비트 수의 로그값으로 정의된다. 이와 같이 환원적이고 수량적인 정의는 공식과 법칙으로 확장되서 추상적인 의미를 얻게 된다.

  고전적인 정보에서는 정보와 확률의 관계를 설명한다. 그 유명한 몬티홀 문제와 베이즈 정리를 통해 확률은 관찰자가 알고 있는 정도, 즉 정보에 관련됨을 말한다. 또한 통계역학적 엔트로피 정의와 섀넌 정보의 수식의 유사성을 통해 엔트로피는 정보의 부재의 정도를 말한다는 것을을 보여준다. 이후 잡음의 문제와 효용성, 그리고 정보의 한계에 대해 논한다.

양자 정보에서는 양자이론의 논란과 고전 정보에 대응하는 양자정보에 대한 계념, 계산과 효용성에 대해서 다룬다. 블랙홀에 관한 논의에서 블랙홀, 양자역학, 상대성 이론의 문제를 통해 고전적인 정의에서 통계역학적인 정의로 옮겨갔던 엔트로피의 정의가 다시 고전적인 정의로 이동함을 보여주고  마지막으로 양자역학과 인간의 앎의 한계에 관하여 정보이론 적인 설명에 대해서 이야기 한다. 양자역학에서 관측값이 이산적인 이유는 인간이 알아가는 과정 때문이라고 이 책에서 말한다. 어떤 것을 알아가는 과정이 참과 거짓의 1비트와 같은 형식이기 때문에 양자역학이 연속적이 아닌 이산적으로 나타난다는 것이다. 나아가서 인간의 앎이란 것도 그런식일 수 밖에 없지 않을까하는 의문을 던지고 따라서 모든 인간의 지식도 정보개념을 통해 설명할 수 있지 않을 까라고 말한다.

 사실 이 책을 처음 읽었을때 감명깊었던 이유는 각 부분에서는 중요한 개념에 대해 아주 간단한 예시를 통해 가능한한 간단한 수식으로 설명을 하지만 각각의 예시는 정말 명쾌하고 개연성이 있어서 관련 내용에 대해 쉽게 이해할 수 있었기 때문이다. 대학교를 처음 들어왔을 때 관심 있었던 물리와 확률에 대해서 쉽게 이해할 수 있었다. 예를 들면 엔트로피 증가를 보여주는 예시에서 엔트로피의 정의가 열량 나누기 온도로 정의 되는데 높은곳과 낮은곳의 온도가 1과 10으로 일정하다고 가정하고 높은곳에서 낮은 곳으로 이동하는 열이 10일 경우 총 엔트로피 변화량은 10/1 - 10/10 = 9 로 증각하게 된다는 식이다. 몬티홀 문제는 볼때마다 신기하다. 나 같은 범부뿐만 아니라 그 유명한 에르되시도 착각했던 문제라서 그런지도 모른다. (몬티홀 문제는 3개의 선택 중에 2개는 꽝이고 하나는 보상이 있을때 참가자가 하나의 문을 선택한 후 사회자가 꽝인 문을 알려주었을 때 참가자가 선택을 바꾸는 경우 상품을 탈 확률이 어떻게 될 것인가 하는 문제이다). 이 책에서는 몬티홀 문제에 한가지 유용한 해석을 하는데 사회자가 잘못된 문을 알려주면 자동차를 탈 확률이 증가하는 이유는 참가자의 정보가 증가하기 때문이라는 것이다. 이런 아주 간단한 예시를 통해 정보 개념과 관련된 로그함수, 엔트로피, 베이즈 정리와 같은 개념을 유기적이면서 명쾌하게 설명하고 있다. 

 이렇게 짧은 글으 쓴 후에도 나는 정말 엉망인 글을 쓴다고 느꼈는데 저자의 글쓰는 실력이 정말 대단하다는 것을 느낀다. 고등학교때 물리를 선택과목으로 하거나 일반 물리를 공부하는 이공계 1학년들에게 이책을 추천하고 싶다.

수정1: 숫자...